二项式定理试题类型大全.doc

二项式定理试题类型大全
一．选择题
1.有多少个整数n能使(n+i)4成为整数（B ）
A.0 B.1 C.2 D.3
2. 展开式中不含项的系数的和为（B ）
A.-1 B.0 C.1 D.2
3．若S=，则S的个位数字是（C ）
A 0 B 3 C 5 D 8
4．已知（x－）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ）
A.28 B.38 C.1或38 D.1或28
5．在的展开式中，有理项的个数是（　　）
Ａ．15个 Ｂ．33个 Ｃ．17个 Ｄ．16个
6.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（C ）
A．3项 B．4项 C．5项 D．6项
7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x3的项的系数是（ C ）
A、－5 B、 5 C、10 D、－10
8．的展开式中的系数为（ ）
A．6 B．-6 C．9 D．-9
9．若x=，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ）
A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项
10.二项式的展开式中含有非零常数项，则正整数的最小值为（ ）
A．7 B．12 C．14 D．5
11.设函数则导函数的展开式项的系数为（Ｃ ）
A．1440 B．-1440 C．-2880 D．2880
12．在的展开式中，常数项为（　B　）
（A）51 （B）－51 （C）－11 （D）11
13．若，且，则的值为（　Ｃ　）
Ａ．9 Ｂ．10 Ｃ．11 Ｄ．12
14．若多项式=，则（ ）
（A） 9 （B）10 （C） （D）
解：根据左边的系数为1,易知，左边的系数为0,右边的系数为,∴ 故选D。
15．若x(1+x)n的展开式中的每项的系数都用这一项的x的指数去除，则得到的新系数和等于（ A ）
A.(2n+1-1)／(n+1) B.(2n-1)／(n+1) C.(2n-1+n-2)/(n+1) D.(n·2n+1)/(n+1)
16．设a、b、m为整数（m>0),若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余.记为a≡b(mod m).已知a=1+C+C·2+C·22+…+C·219，b≡a(mod 10)，则b的值可以是（ B ）
A.2015 B.2011 C.2008 D.2006
17.若二项式展开式的常数项为20，则值为（ B ）
A. B. C. D.
18．5310被8除的余数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、7
19已知，设，则M的值为（ ）
A 4 B -4i C 4i D
20.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………（ ）
A.1.23 B.1.24 C.1.33 D.1.44
21.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x的系数是…………………（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
20、已知3,则x=__________________
21、（x-1）（x+2）（x-5）（x+7）（x-10）中x4的系数为_______________
22.若对任意实数都有
，则 -243 .
23设为的最大值，则二项式展开式中含项的系数是 -192
24已知等式成立，则的值等于 0 .
25、的二项展开式中，含的奇次幂的所有项的和为S，当时，S等于
26设二项式的展开式的各项系数之和为P，所有二项式系数之和为S，若P+S=272，则n= .
三．解答题
27、某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种，现在餐厅准备了五种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种？（要求写出必要的解答过程）
解：在5种不同的荤菜中取出2种的选择方式应有种，设素菜为种，则
解得，

28、已知的展开式的二项式系数和比的展开式的系数和大992,求的展开式中:①二项式系数最大的项;②系数的绝对值最大的项.
解：（1）n=5，—8064
(2)—15360x4
解：由题意,解得。
①的展开式中第6项的二项式系数最大,
即.
②设第项的系数的绝对值最大,
则
∴,得,即
∴,∴,故系数的绝对值最大的是第4项.
29、(12分)在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列
（1）求展开式的常数项； （2）求展开式中二项式系数最大的项；
（3）求展开式中各项的系数和。
解:展开式的通项为，r=0，1，2，…，n
由已知：成等差数列，∴ ∴ n=8
（1） （2） （3）令x=1，各项系数和为
30.已知的展开式前三项中的的系数成等差数列.
（1）求展开式中所有的的有理项；
（2）求展开式中系数最大的项.
解：（1）展开式前三项的系数分别为
.
由题设可知：
　　　　解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）.
　当ｎ＝8时，＝.
　据题意，4－必为整数，从而可知必为4的倍数，
而0≤≤8，∴＝0,4，8.
　　故的有理项为：，，.
（2）设第＋1项的系数最大，显然＞0，
故有≥1且≤1.
∵＝，
由≥1，得≤3.
∵＝，
由≤1，得≥2.
∴＝2或＝3，所求项分别为和.
31、(12分)已知是正整数，的展开式
中的系数为7，
（1） 试求中的的系数的最小值；9
（2） 对于使的的系数为最小的，求出此时的系数；5
（3） 对于使的的系数为最小的，求此时的近似值（精确到0.01）；2.02
32、已知(x3+)n展开式中有第六项的二项式系数最大，求：(1)展开式中不含x项；(2)C0n-C1n+C2n-C3n+…+(-1)n·Cnn的值.
答案.(1)210，(2)

33．在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求的最值.
解：（1）设T=C（axm）12－r·（bxn）r=Ca12－rbrxm（12－r）+nr为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.
（2）∵第5项又是系数最大的项，
∴有
Ca8b4≥Ca9b3①
Ca8b4≥Ca7b5②
由①得a8b4≥a9b3，
∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.
由②得≥，∴≤≤.
故的最大值、最小值分别为、.
35．已知，求证：当为偶数时，能被64整除．
证明：，
为偶数，设，
，　　
当时，，显然能被64整除；
当时，式能被64整除．
为偶数时，能被64整除．
例4. 已知二项式，（n∈N）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的
比是10：1，
（1）求展开式中各项的系数和
（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项
解：（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴，解得n=8
令x=1得到展开式中各项的系数和为(1-2)=1
(2) 展开式中第r项, 第r+1项,第r+2项的系数绝对值分别为,,,
若第r+1项的系数绝对值最大,则必须满足：
≤ 并且 ≤，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T=1792；二项式系数最大的项为T=1120