概率论第四章答案.doc

习题4-1
1. 设随机变量的分布律为
X
-2 0 2
P
0.4 0.3 0.3

求；E(2－3 X); ；.
解 由定义和数学期望的性质知
;
;
;
.
2. 设随机变量的概率密度为

求的数学期望.
解 ,
.
3. 游客乘电梯从底层到电视塔顶观光, 电梯于每个整点的第分钟、第分钟和第分钟从底层起行. 假设一游客在早八点的第X分钟到达底层侯梯处, 且X在区间[0, 60]上服从均匀分布. 求该游客等候电梯时间的数学期望.
解已知X在[0,60]上服从均匀分布, 其概率密度为

记Y为游客等候电梯的时间,则

因此,

=11.67(分钟)..
14. 某保险公司规定, 如果在一年内顾客的投保事件A发生, 该公司就赔偿顾客a元. 若一年内事件A发生的概率为p, 为使该公司受益的期望值等于a的10％, 该公司应该要求顾客交多少保险费？
解 设保险公司要求顾客交保费c元. 引入随机变量

则. 保险公司的受益值

于是 .
据题意有, 因此应要求顾客角保费.
习题4-2
1. 选择题
(1) 已知 则.
(A) . (B) . (C) . (D) .
解

.
可见，应选(D).
(2) 设, 则有( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 因为所以E(X)=np,D(X)=np(1-p), 得到np=6, np(1-p)=3.6 . 解之, n=15 , p=0.4 . 可见，应选(C).
(3) 设X与Y相互独立，且都服从, 则有( ).
(A) . (B) .
(C) . (D) .
解 注意到.由于X与Y相互独立,所以
. 选(D).
(4) 在下列结论中, 错误的是( ).
(A) 若
(B) 若，则.
(C) 若X服从泊松分布, 则.
(D) 若 则.
解 , 则. 选(B).
2. 已知X, Y独立, E(X)= E(Y)=2, E(X2)= E(Y2)=5, 求E(3X-2Y),D(3X-2Y).
解 由数学期望和方差的性质有
E(3X-2Y)= 3E(X)-2 E (Y)=3×2-2×2=2,

.
3. 设随机变量X1, X2, X3相互独立, 其中X1服从区间[0, 6]上的均匀分布, , , 记, 求E(Y)和D(Y) .
解 由题设知
.
由期望的性质可得

又相互独立, 所以

4. 设两个随机变量X和Y相互独立, 且都服从均值为0, 方差为的正态分布, 求的的期望和方差.
解 记. 由于, 所以
.
由此. 进而
;
.
故而 .
5. 设随机变量, 随机变量

求期望和方差.
解 因为X的概率密度为

于是Y的分布率为
,
,
.
因此
,
.
故有 .
6. 设随机变量在区间[-2, 2]上服从均匀分布, 随机变量

求E(X+Y), D(X+Y).
解 (1) 随机变量(X, Y)的可能取值为(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1).
≤≤,
≤,
≤,
.
于是得X和Y的联合密度分布为

X
Y
-1
1
-1

1
0

(2) 和的概率分布分别为

X+Y
-2
0
2
P{ X+Y =k}

(X+Y)2
0
4
P{ (X+Y)2 =k}

由此可见
;.
习题4-3
1. 选择题
(1) 在下列结论中, ( )不是随机变量X与Y不相关的充分必要条件
(A) E(XY)=E(X)E(Y). (B) D(X+Y)=D(X)+D(Y).
(C) Cov(X,Y)=0. (D) X与 Y相互独立.
解 X与 Y相互独立是随机变量X与Y不相关的充分条件,而非必要条件. 选(D).
(2) 设随机变量X和Y都服从正态分布, 且它们不相关, 则下列结论中不正确的是( ).
(A) X与Y一定独立. (B) (X, Y)服从二维正态分布.
(C) X与Y未必独立. (D) X+Y服从一维正态分布.
解 对于正态分布不相关和独立是等价的. 选(A).
(3) 设(X, Y)服从二元正态分布, 则下列说法中错误的是( ).
(A) (X, Y)的边缘分布仍然是正态分布.
(B) X与Y相互独立等价于X与Y不相关.
(C) (X, Y)是二维连续型随机变量.
(D)由(X, Y)的边缘分布可完全确定(X, Y)的联合分布.
解 仅仅由(X, Y)的边缘分布不能完全确定(X, Y)的联合分布. 选(D)
2 设D(X)=4, D(Y)=6, ρXY=0.6, 求D(3X-2Y) .
解

.
3. 设随机变量X, Y的相关系数为, ,
求.
解

4. 设随机变量(X, Y)的分布律为
X
Y
1 2

0

1
0.4 a

0.2 b
若E(XY)=0.8, 求常数a,b和协方差Cov(X,Y).
解 首先由得. 其次由

得. 进而. 由此可得边缘分布律

1

0.6
0.4

0.5
0.5
于是 , .
故 .
5. 已知随机变量, Z=2X-Y, 试求方差D(Z), 协方差, 相关系数ρXZ.
解 由于X,Y的相关系数为零, 所以X和Y相互独立(因X和Y服从正态分布). 因此
,
.
因此 .
6. 设随机变量(X, Y)服从二维正态分布: , ; X与Y的相关系数. 求: (1) E(Z), D(Z)； (2) X与Z的相关系数ρXZ; (3)问 X与Z是否相互独立?为什么?
解 (1) 由于, , 所以
,
而 .
因此 ,

.
(2) 由于

所以 .
(3) 由知X与Z不相关, 又X与Z均服从正态分布, 故知X与Z相互独立.
7．证明: 对随机变量(X, Y), E(XY)=E(X)E(Y)或者D(XY)=D(X)+D(Y)的充要条件是X与Y不相关.
证 首先我们来证明和是等价的.
事实上, 注意到.
因此
.
其次证明必要性. 假设E(XY)=E(X)E(Y), 则
.
进而, 即X与Y不相关.
最后证明充分性. 假设X与Y不相关, 即, 则. 由此知.
总习题四
1. 设X和Y是相互独立且服从同一分布的两个随机变量, 已知X的分布律为. 又设.
(1) 写出二维随机变量(U, V)的分布律;
(2) 求.
解 (1) 下面实际计算一下.
注意到, 因此

.
类似地计算, 可得的分布律如下表
U
V

(2) 由的分布律可得关于U的边缘分布律

U

所以 .
2. 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗. 假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的, 并且概率是. 设X为途中遇到红灯的次数, 求随机变量X的分布律、分布函数和数学期望.
解 令X表示途中遇到红灯的次数, 由题设知. 即X的分布律为

0
1
2
3
P

从而.
3. 设随机变量的概率密度为

求.
解 .
.
.

.
4. 设随机变量(X,Y)的概率密度为

求E(X),D(X),E(Y),D(Y),E(XY)和 Cov(X,Y).
解 .

于是有
.
利用对称性,有 .
又

.
所以协方差 .
5. 设随机变量X与Y独立, 同服从正态分布, 求
(1) ；
(2) .
解 (1) 记.由于,所以
.
由此. 所以

,
.
故而.
(2) 注意到
, .
所以
,
.
6. 设随机变量的联合概率密度为

求: E(X), E(Y), Cov(X,Y), ρXY, D(X+Y).
解 注意到只在区域上不为零, 所以

,
,
因而 .
又

.
由对称性知
, .
这样，
,
,
.
7. 设A, B为随机事件, 且, 令

求: (1) 二维随机变量(X, Y)的概率分布; (2) X与Y的相关系数.
解 由得, 进而由 得. 在此基础上可以求得
(1) ,
,
,

.
故(X, Y)的概率分布为
Y
X
0
1
0

1

(2) 由(1)易得关于X和Y的边缘分布律
X
0
1
P{X=k}

Y
0
1
P{Y=k}

因此

,
.
又由(X, Y)的分布律可得
.
故
.