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《不等式》知识点归纳
一.(1)解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值.
(2)解分式不等式的一般解题思路是什么？（移项通分，分子分母分解因式，x的系数变为正值，标根及奇穿过偶弹回）；
(3)含有两个绝对值的不等式如何去绝对值？(一般是分类讨论、平方转化或换元转化)；
(4)解含参不等式常分类等价转化，必要时需分类讨论.注意：按参数讨论，最后按参数取值分别说明其解集，但若按未知数讨论，最后应求并集.
二、 利用重要不等式 以及变式等求函数的最值时，务必注意a，b（或a ，b非负），且“等号成立”时的条件是积ab或和a＋b其中之一应是定值(一正二定三等四同时).
三、.常用不等式有：(根据目标不等式左右的运算结构选用) a、b、cR，（当且仅当时，取等号）
四、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）：
（，）；

五、最值定理
（积定和最小） ①，若积，则当时和有最小值；
（和定积最大）②，若和，则当是积有最大值.
【推广】：③已知若，则有则的最小值为：
④等式到不等式的转化：已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．

即
解得 故x＋2y的最小值是4
如果求xy的最大值，则，
然后解关于的一元二次不等式，求的范围，进而得到xy的最大值
六、比较大小的方法和证明不等式的方法主要有：差比较法、商比较法、函数性质法、综合法、分析法和放缩法(注意：对“整式、分式、绝对值不等式”的放缩途径， “配方、函数单调性等”对放缩的影响).
七、含绝对值不等式的性质：
同号或有；
异号或有.
八、不等式中的函数思想
不等式恒成立问题
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、函数法
（1）一次函数有：

（2）一元二次函数有：
1）对恒成立;
2）对恒成立
（3）不等式中的取值范围有限制，则可利用根的分布解决问题。
例1．设，当时，恒成立，求实数的取值范围。
O
x
yx
-1
解：设，则当时，恒成立
当时，显然成立；
当时，如图，恒成立的充要条件为：
解得。 综上可得实数的取值范围为。
二、最值法：
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
（1）恒成立
（2）恒成立
例2．已知两个函数，其中为实数.
(1)若对任意的，都有成立，求的取值范围；
(2)若对任意的，都有，求的取值范围.
(3)若对于任意,总存在使得成立，求的取值范围.
解：(1) 令,
问题转化为 在 上恒成立,即即可
(2)由题意可知当时,都有.
（3）于任意,总存在使得成立，等价于的值域是的值域的子集，

三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
例3：已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数,且f(1)=1,若，若对于所有的恒成立，求实数t的取值范围.
解：题不等式中有三个变量，因此可以通过消元转化的策略，先消去一个变量，容易证明f(x)是定义在[-1,1]上的增函数,故 f(x)在[-1,1]上的最大值为f(1)=1,则对于所有的恒成立对于所有的恒成立，即对于所有的恒成立，令，只要，．
四、变换主元法
理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4：，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解之得。
故的取值范围为。

五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方.
例5.设函数,,若恒有成立,试求实数a的取值范围.
x
y
O
解：由题意得,
令①,②.
①可化为，它表示以(2,0)为圆心，2 为半径的上半圆；②表示经过定点(-2,0)，以a为斜率的直线，要使恒成立，只需①所表示的半圆在②所表示的直线下方就可以了(如图所示)．当直线与半圆相切时就有，即，由图可知，要使恒成立，实数a的取值范围是．
六、分类讨论
在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例6：时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。
（1） 当即：时， 又所以不存在；
（2） 当即：时， 又
（3） 当 即：时， 又
综上所得：

例7：已知是实数，函数，如果函数在区间上有零点，求的取值范围．
解析：由函数的解析式的形式，对其在定区间上零点问题的解决需要考虑它是一次函数，还是二次函数，因而需就和两类情况进行讨论。
解：函数在区间[-1，1]上有零点，即方程=0在[-1，1]上有解，
a=0时，不符合题意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>或或或或a≥1.
所以实数a的取值范围是或a≥1.
点评：本题主要考察二次函数及其性质、一元二次方程、函数应用、解不等式等基础知识，考察了数形结合、分类讨论的思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力。
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