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抛物线的常见结论
一、 知识点总结
1. 抛物线的弦长公式
，其中k是弦所在直线的斜率，是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。
，其中弦长所在直线方程为，是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。
2. 抛物线的焦点弦
A
B
F
C
D
O
α

对于抛物线，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A，B两点，过A,B做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D，那么有：
①
由 得（＊），因此
②焦点弦长，焦点弦长
，结合（＊）式与得：

③
简单证明如下:
④焦点三角形面积
简单证明如下：以为底，以O到AB的距离为高，该三角形面积课表示为：
⑤焦点弦相关的几何关系：
a. 以AF/BF为直径的圆与y轴相切
b. 以AB为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.
c. 以CD为直径的圆与AB相切
d. A,B在准线上的投影对F的张角为90°，
e. 以A,B为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。
3. 经过x轴上一点的直线与抛物线相交与两点，不论其斜率为何值， 都有成立。
特别地，当时，，此时。反之结论亦能成立，当,AB所在直线经过定点。
二、 相关题型总结
1、 与焦点弦相关的求值问题
例1：过抛物线C：的焦点F的直线交C于A，B两点，若，则=（　　）
A．2 B． C．4 D．5
例2：已知F为抛物线的焦点，过F作两条夹角为45°的直线，交抛物线于A，B两点，交抛物线于C，D两点，则的最大值为（　　）
A． B． C． D.

例3:已知直线交抛物线于A，B两点（点A在x轴上方），点F为抛物线的焦点，那么=（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
例4：已知抛物线的焦点为F，过点F作互相垂直的两直线AB，CD与抛物分别相交于A，B以及C，D，若，则四边形ACBD的面积的最小值为（　　）

例5：过抛物线的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B两点(A在上方)，则
例6：已知F是抛物线的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,B两点(A在上方)，则
例7：过抛物线抛物线的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B两点，若,则三角形 AOB的面积为

2、 抛物线中与结论3相关的求值问题
例1：设抛物线C：，过点M的直线与抛物线相交于A，B两点，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为，则（　　）
A．-1 B．2 C．﹣2 D．不确定
例2：已知直线与抛物线交于两点A，B且两交点纵坐标之积为，则直线恒过定点（　）
A．（1，0） B．（2，0） C．（4，0） D．（8，0）
例3:如图，已知直线与抛物线交于A，B两点，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于点D，点D的坐标为，则p的值为（　　）

A．2 B．4 C． D．
例4：设抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，与抛物线准线交于点，若，则（　　）
(A) (B) 4 (C) 3 (D) 2

2、抛物线综合问题
例1：直线l与抛物线y2=4x相交与A，B两点，若OA⊥OB（O是坐标原点），则△AOB面积的最小值为（　　）
A．32 B．24 C．16 D．8
例2：若抛物线y2=4x，过其焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，则|AF|+2|BF|的最小值为（　　）
A．6 B． C．9 D．
例3：已知A，B是过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线的交点，O是坐标原点，且满足,则的值为（　　）
A． B． C．4 D．2