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反比例函数
（一）反比例函数的概念
　　1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；
　　2．（）也可以写成xy=k的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式；
　　3．反比例函数的自变量，故函数图象与x轴、y轴无交点．
（二）反比例函数的图象
　　在用描点法画反比例函数的图象时，应注意自变量x的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）．
（三）反比例函数及其图象的性质
　　1．函数解析式：（）
　　2．自变量的取值范围：
　　3．图象：
　　（1）图象的形状：双曲线．
　　 越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．　越小，图象的弯曲度越大．
　　（2）图象的位置和性质：
　　与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线．
　　当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y随x的增大而减小；
　　当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大．
　　（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．
图象关于直线对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上．
　　4．k的几何意义
　　如图1，设点P（a，b）是双曲线上任意一点，作PA⊥x轴于A点，PB⊥y轴于B点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO和三角形PBO的面积都是）．
　　如图2，由双曲线的对称性可知，P关于原点的对称点Q也在双曲线上，作QC⊥PA的延长线于C，则有三角形PQC的面积为．

　　 　　　　　　　　图1 　　　　　　　　　　　　　　　　　图2
　　5．说明：
　　（1）双曲线的两个分支是断开的，研究反比例函数的增减性时，要将两个
分支分别讨论，不能一概而论．
　　（2）直线与双曲线的关系：
　　 　当时，两图象没有交点；当时，两图象必有两个交点，且这两个交点关于原点成中心对称
　　（3）反比例函数与一次函数的联系．

（四）实际问题与反比例函数
　　1．求函数解析式的方法：
　　（1）待定系数法；（2）根据实际意义列函数解析式．
　　2．注意学科间知识的综合，但重点放在对数学知识的研究上．
（五）充分利用数形结合的思想解决问题．
三、例题分析
考点1．反比例函数的概念
　　（1）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．y=3x 　　　B．　　　　 C．3xy=1 　　　　D．
　　（2）下列函数中，y是x的反比例函数的是（ ）．
　　A．　　　　B．　　　　 C．　　　　D．
考点2．图象和性质
　　（1）已知函数是反比例函数，
　　①若它的图象在第二、四象限内，那么k=___________．
　　②若y随x的增大而减小，那么k=___________．
　　（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数的图象位于第________象限．
　　（3）若反比例函数经过点（，2），则一次函数的图象一定不经过第_____象限．
　　（4）已知a·b＜0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，
　　　　 则直线不经过的象限是（ ）．
　　A．第一象限 　　　　 B．第二象限　　　 C．第三象限　　　　　 D．第四象限
　　（5）若P（2，2）和Q（m，）是反比例函数图象上的两点，
　　　　 则一次函数y=kx+m的图象经过（ ）．
　　A．第一、二、三象限 　　　　　　B．第一、二、四象限
　　C．第一、三、四象限 　　　　　　D．第二、三、四象限
　　（6）已知函数和（k≠0），它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）．

　　 　　 A． 　　　　　　B．　　　　　　 C． 　　　　　　　D．
　考点3．函数的增减性
　　（1）在反比例函数的图象上有两点，，且，则的值为（ ）．
　　A．正数 　　　　B．负数　　　　　 C．非正数　　　　　 D．非负数
　　（2）在函数（a为常数）的图象上有三个点，，，则函数值、、的大小关系是（ ）．
　　A．＜＜　　　B．＜＜　　　　　C．＜＜　　　D．＜＜
　　（3）下列四个函数中：①；②；③；④．
　　　　 y随x的增大而减小的函数有（ ）．
　　A．0个　　　　 B．1个 　　　　　C．2个 　　　　　D．3个
　　（4）已知反比例函数的图象与直线y=2x和y=x+1的图象过同一点，则当x＞0时，这个反比例函数的函数值y随x的增大而　　　　（填“增大”或“减小”）．
注意，（3）中只有②是符合题意的，而③是在“每一个象限内” y随x的增大而减小．

　考点4．解析式的确定
　　（1）若与成反比例，与成正比例，则y是z的（ ）．
　　A．正比例函数　　　 B．反比例函数 　　　　C．一次函数 　　　　D．不能确定
　　（2）若正比例函数y=2x与反比例函数的图象有一个交点为 （2，m），则m=_____，k=________，它们的另一个交点为________．
　　（3）已知反比例函数的图象经过点，反比例函数的图象在第二、四象限，求的值．
　　（4）已知一次函数y=x+m与反比例函数（）的图象在第一象限内的交点为P （x 0，3）．
　　①求x 0的值；②求一次函数和反比例函数的解析式．

　　（5）为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒． 已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y与x成反比例（如图所示），现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6毫克． 请根据题中所提供的信息解答下列问题：
　　①药物燃烧时y关于x的函数关系式为___________，自变量x 的取值范围是_______________；药物燃烧后y关于x的函数关系式为_________________．
　　②研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时学生方可进教室，那么从消毒开始，至少需要经过_______分钟后，学生才能回到教室；
　　③ 研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10 分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？

　　考点5．面积计算
　　（1）如图，在函数的图象上有三个点A、B、C，过这三个点分别向x轴、y轴作垂线，过每一点所作的两条垂线段与x轴、y轴围成的矩形的面积分别为、、，则（ ）．
　　A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

　　 　第（1）题图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（2）题图
　　（2）如图，A、B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，AC//y轴，BC//x轴，△ABC的面积S，则（ ）．
　　A．S=1 　　　　B．1＜S＜2　　　　　　 C．S=2 　　　　　D．S＞2
　　（3）如图，Rt△AOB的顶点A在双曲线上，且S△AOB=3，求m的值．

　　 　第（3）题图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　第（4）题图
　　（4）已知函数的图象和两条直线y=x，y=2x在第一象限内分别相交于P1和P2两点，过P1分别作x轴、y轴的垂线P1Q1，P1R1，垂足分别为Q1，R1，过P2分别作x轴、y轴的垂线P2 Q 2，P2 R 2，垂足分别为Q 2，R 2，求矩形O Q 1P1 R 1和O Q 2P2 R 2的周长，并比较它们的大小．

　　（5）如图，正比例函数y=kx（k＞0）和反比例函数的图象相交于A、C两点，过A作x轴垂线交x轴于B，连接BC，若△ABC面积为S，则S=_________．

　　 　　　第（5）题图 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
考点6.一次函数与反比例函数综合
1. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点，且点的横坐标为1，过点作轴的垂线，为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式.

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2. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且S△PBD=4，．
（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
y
x
P
B
D
A
O
C
（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.

3. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数的取值范围.

4. 已知：，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求时，的值．

5. 如图，是反比例函数在第一象限图像上的一点，点的坐标为（2，0）．
（1）当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？
（2）若与均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及点的坐标．
y
x
O
P1
P2
A2
A1

6. 如图，一次函数与反比例函数在第一象限的图象交于点，且点的横坐标为1，过点作轴的垂线，为垂足，若，求一次函数和反比例函数的解析式.

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7. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点P，点P在第一象限．PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交轴、轴于点C、D，且S△PBD=4，．
（1）求点D的坐标；（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
y
x
P
B
D
A
O
C
（3）根据图象写出当时，一次函数的值大于反比例函数的值的的取值范围.

8. 已知正比例函数的图象与反比例函数的图象有一个交点的纵坐标是2.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求反比例函数的取值范围.

9. 已知：，与成正比例，与成反比例，且时，；时，．求时，的值．

10. 如图，是反比例函数在第一象限图像上的一点，点的坐标为（2，0）．
（1）当点的横坐标逐渐增大时，的面积将如何变化？
（2）若与均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及点的坐标．
y
x
O
P1
P2
A2
A1

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