初2第10讲一次函数面积专题.doc

黄金数学组 2014秋季班专用教材 在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要 -- 康托尔
初二（上）数学
第10讲 一次函数几何应用
----面积专题
一、 本讲重难点
1、由点坐标引发的面积问题：
坐标三角形面积：
‚坐标平面内的面积问题。常见方法：直接法（特殊图形的面积公式求解），割补法（把不规则图形补形成为特殊图形或者把不规则图形分割成为特殊图形，在坐标系中，常见作铅垂高，水平宽）
2、 由面积引发点的坐标问题：

3、由面积引发的综合探究问题：

二、典例讲习
考点一：由坐标引发的面积问题：
一次函数与轴交于、轴交于，则坐标三角形面积。
例1：如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B．则的面积为　 　．

变式：设直线和直线（是正整数）及X轴围成的三角形的面积为，求的值。
例2、（乌鲁木齐中考）如图，在平面直角坐标系中，直线l：分别交x轴，y轴于点A、B，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线l相交于点C，求△A′BC的面积．

变式（宜宾中考）已知：如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴和y轴交于A、B两点，将△AOB绕点O顺时针旋转90°后得到△A′OB′．
（1）求直线A′B′的解析式；
（2）若直线A′B′与直线AB相交于点C，求S△A´BC：S△ABO的值．

例3：一次函数与坐标轴交于A、C两点，与过A点的直线与一次函数交于点B，求

例4：已知，如图，一次函数与坐标轴分别交于A、B两点。点C为一象限内的点，且坐标为(4,2),求的面积。

变式：（2014•厦门）当m，n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P（m，）为“完美点”，已知点A（0，5）与点M都在直线y=﹣x+b上，点B，C是“完美点”，且点B在线段AM上，若MC=，AM=4，求△MBC的面积．

考点二：由面积引发的坐标问题：注意分类讨论。

引例：在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，6），B（3，0），C（0，4），若点P是坐标轴上一动点，且，则点P的坐标为 。

例5、如图，已知一次函数的图象经过点A（2，3），AB⊥x轴于B，连接OA．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设点P为直线上的一点，且在第一象限内，经过P作x轴的垂线，垂足为Q．若，求点P的坐标．（思考：若点P为一次函数上任意一点，求点P的坐标）

例6:（太原市竞赛）如图所示,为正三角形，点B坐标为（2,0），过点C（-2,0）作直线交AO于D，交AB于E，且使和的面积相等，求直线的解析式。

变式：（2013•宝山区一模）如图，在平面直角坐标系中，多边形的顶点坐标为， 若如图过点的直线（与y轴交于点P）将多边形分割成面积相等的两部分，则直线的函数表达式是　 　．

例7：如图所示，直线所示，直线与轴、轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，如果在第二象限内有一点，且的面积与的面积相等，求的值。

变式：如图，直线与x轴，y轴分别交于A,B两点，以AB为边在AB上侧作
等边△ABC，若平面内有一点P(m，)，使得△ABP与△ABC的面积相等，求的值。

考点三：由面积引发的综合探究问题
例8、（2014•齐齐哈尔一模）如图，在平面直角坐标系中，函数y=﹣2x+12的图象分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y 正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．
（1）求直线AM的函数解析式．
（2）试在直线AM上找一点P，使得S△ABP=S△AOM，请直接写出点P的坐标．
（3）点C在直线AM上，在坐标平面内是否存在点D，使以A、O、C、D为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

例9、（2014•苏州模拟）如图，直线y=﹣x+6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y=x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿x轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．
（1）求点C的坐标；
（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式，并求S的最大值；
（3）当t＞0时，直接写出点（4，）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

例10、如图，直线的解析式为，它与轴、轴分别相交于两点．平行于直线的直线从原点出发，沿轴的正方形以每秒1个单位长度的速度运动，它与轴、轴分别相交于两点，设运动时间为秒（）．
（1）求两点的坐标；
（2）用含的代数式表示的面积；
（3）以为对角线作矩形，记和重合部分的面积为，
①当时，试探究与之间的函数关系式；
②在直线的运动过程中，当为何值时，为面积的

三、课后练习
1、如图，在平面直角坐标系中，有A(0，5)，B（5，0），C(0，3)，D（3，0）且AD与BC相交于点E，连接AB，则△ABE的面积是 。

2、 已知直线y＝2x+3与直线y＝-2x-1交于点C，点P是第二象限内直线BC上的动点．若△APC的面积是6，则点P的坐标为 。

3、（2014•衢州一模）在平面直角坐标系xOy中，点A1，A2，A3，…和B1，B2，B3，…分别在直线y=kx+b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果A1（1，1），A2（），那么点An的纵坐标是　 　．

4、（2013•苏州一模）正方形ABCD，矩形EFGH均位于第二象限内，它们的边平行于x轴或y轴，其中点A，E在直线OM上，点C，G在直线ON上，O为坐标原点，点A的坐标为（﹣3，3），正方形ABCD的边长为1．若矩形EFGH（GF＞EF）的周长为14，面积为12，则点F的坐标为　 　．

5、（2014•高港区二模）如图，平面直角坐标系中，原点为O，点A、M的坐标分别为（0，8）、（3，4），AM的延长线交x轴于点B．点P为线段AO上的一个动点，点P从点O沿OA方向以1个单位/秒的速度向A运动，正方形PCEF边长为2（点C在y轴上，点E、F在y轴右侧）．设运动时间为t秒．

（1）正方形PCEF的对角线PE所在直线的函数表达式为　 　 （用含t的式子表示），若正方形PCEF的对角线PE所在直线恰好经过点M，则时间t为　 　秒．
（2）若正方形PCEF始终在△AOB内部运动，求t的范围．
（3）在条件（2）下，设△PEM的面积为y，求y与t的函数表达式．

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初二（上） 第10讲 一次函数综合（二）——面积专题 名师堂:100年只做一件事——教育！