高考平面向量公式(教师).doc

第七辑 平面向量专题
一，基本概念
1，向量的概念：有大小有方向的量称为向量。
2，向量的表示：几何表示为有向线段（如图）；字母表示为或者。
3，向量的大小：即是向量的长度（或称模），记作或者。
4，零向量：长度为0的向量称为零向量，记为，零向量方向是任意的。
5，单位向量：长度为一个单位的向量称为单位向量，一般用、来表示。，
6，平行向量（也称共线向量）：方向相同或相反的向量称为平行向量，规定零向量与任意向量平行。若平行于，则表示为∥。
7，相等向量：方向相同，大小相等的向量称为相等向量。若与相等，记为=
8，相反向量：大小相等，方向相反的向量称为相反向量。若与是相反向量，则表示为=；向量

二，几何运算
1，向量加法：
（1）平行四边形法则（起点相同），可理解为力的合成，如图所示：
（2）三角形法则（首尾相接），可理解为：位移的合成，如图所示，
（3）两个向量和仍是一个向量；
（4）向量加法满足交换律、结合律：，
（5）加法几种情况（加法不等式）：

2，减法：
（1）两向量起点相同，方向是从减数指向被减数，如图
（2）两向量差依旧是一个向量；
（3）减法本质是加法的逆运算：
3，加法、减法联系：
（1）加法和减法分别是平行四边行两条对角线，，
（2）若有，则四边形为矩形
4，实数与向量的积：
（1）实数与向量的积依然是个向量，记作，它的长度与方向判断如下：
当时，与方向相同；当时，与方向相反；当时，；当时，；
（2）实数与向量相乘满足：
5，向量共线：
（1）向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个实数，使得
（2）如图，平面内三点共线的重要条件是存在三个不为零的实数，
使得，且，反之也成立。
（3），则（证明略）
6，向量的数量积
（1）数量积公式：
（2）向量夹角：同起点两向量所夹的角，范围是
（3）零向量与任一向量的数量积为0，即
（4）数量积与夹角关系：

（5）投影：称为在的方向上的投影；成为在的方向上的投影
（6）重要结论：直角三角形中，
（7）向量数量积的运算律：
（向量为与方向相同的单位向量）

三，坐标运算
1，平面向量基本定理：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使得，我们把不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。（证明略）

2，坐标定义：如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量,作为基底。任作一个向量，由向量的基本定理可知，有且只有一对实数，使得：，我们把叫做
向量的（直角）坐标，记作，其中、分别为向量的横纵坐标。这个式子
叫做向量的坐标表示。

3，如图，已知点，，由向量的坐标定义可知，
，，由此可知，一个向量
的坐标表示等于此向量的终点坐标减去起点坐标，即，

4，向量的加减乘坐标运算：已知，
（1）加、减、乘：
（2）实数与向量乘积的坐标运算：
（3）向量模（大小）的坐标形式：
（4）夹角余弦值
5，向量间关系的坐标形式，已知，
（1）的充要条件是，
（2）若则有，即
6，柯西不等式的向量形式
设向量，则有， ，因为，所以有柯西不等式的向量形式：，化简得：

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