广东省惠州市2019届高三4月模拟考试文科数学试题(含答案).doc

惠州市2019届高三模拟考试
文科数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。
2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效。
3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.
1．集合，，若，则实数的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
2．若复数 (其中为虚数单位，)为纯虚数，则等于（ ）
A． B． C． D．2
3．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日（春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节）中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是（ ）
A． 　　　 B． 　　　 C． 　　 　D．
4．已知向量，向量，若与垂直，则μ=（ ）
A． B． C． D．
5．公差不为零的等差数列的前项和为，若是与的等比中项，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆与抛物线交于、两点，与抛物线的准线交于、两点，若四边形是矩形，则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面平行的是 ( )
A． 是平面内两条直线，且．
B．是两条异面直线，，且．
C．面内不共线的三点到的距离相等．
D．面都垂直于平面．
8．设函数的图象为，下面结论中正确的是（ ）
A． 函数的最小正周期是． B．图象关于直线对称．
C． 图象可由函数的图象向右平移个单位得到．
D． 图象可由函数的图象向左平移个单位得到．
9．设函数在上可导，其导函数为，且函数在处取得极小值，则函数的图象可能是（ ）

10．已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上，若，，，，则球的半径为（ ）
A． B．2 C． D．3
11．已知点为双曲线的右焦点，定点为双曲线虚轴的一个顶点，直线与双曲线的一条渐近线在轴左侧的交点为，
若，则此双曲线的离心率是（ ）
A． B． C． D．
12．已知定义在上的函数满足：
①， ②，
③在上表达式为．
则函数与函数的图象在区间上的交点个数为（ ）
A. B. C. D.
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知某地区中小学生的人数和近视率情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则抽取的高中生中近视的人数为_____________．

14．若变量满足约束条件 ，则的取值范围是_____________．
15．我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用图①的数表列出了一些正整数在三角形中的一种几何排列，俗称“杨辉三角形”，该数表的规律是每行首尾数字均为1，从第三行开始，其余的数字是它“上方”左右两个数字之和。现将杨辉三角形中的奇数换成，偶数换成，得到图②所示的由数字和组成的三角形数表，由上往下数，记第行各数字的和为，如，，，，，……，
则_____________．

16．已知直线分别与直线、曲线交于点A、B，则线段AB长度的最小值为_____________．（其中常数，是自然对数的底数）
三．解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个考生都必须作答。 第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题:共60分。
17．（本小题满分12分）
在中，内角、、的对边分别为、、，且．
（1）求的值；
（2）若，，求的面积．
18．（本小题满分12分）
如图，在底面是正方形的四棱锥中，平面，交于点，
是的中点， 为上一动点．
（1）求证：；
（2）若是的中点，，
求点到平面的距离。

19．（本小题满分12分）
《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民月收入总额（工资、薪金等）不超过免征额的部分不必纳税，超过免征额的部分为全月应纳税所得额，个人所得税税款按税率表分段累计计算。为了给公民合理减负，稳步提升公民的收入水平，自2018年10月1日起，个人所得税免征额和税率进行了调整，调整前后的个人所得税税率表如下：
个人所得税税率表（调整前）
个人所得税税率表（调整后）
免征额3500元
免征额5000元
级数
全月应纳税所得额
税率
级数
全月应纳税所得额
税率
1
不超过1500元的部分
3%
1
不超过3000元的部分
3%
2
超过1500元至4500元的部分
10%
2
超过3000元至12000元的部分
10%
3
超过4500元至9000元的部分
20%
3
超过12000元至25000元的部分
20%
…
…
…
…
…
…
（1）已知小李2018年9月份上交的税费是295元，10月份月工资、薪金等税前收入与9月份相同，请帮小李计算一下税率调整后小李10月份的税后实际收入是多少？
（2）某税务部门在小李所在公司利用分层抽样方法抽取某月100位不同层次员工的税前收入，并制成下面的频率分布直方图。
(ⅰ)请根据频率分布直方图估计该公司员工税前收入的中位数；
(ⅱ)同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，按调整后税率表，试估计小李所在的公司员工该月平均纳税多少元？

20．（本小题满分12分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆的右焦点作互相垂直的两条直线、，其中直线交椭圆于P、Q两点，直线交直线于M点，求证：直线OM平分线段PQ．
21．（本小题满分12分）
已知函数，．
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）令，若，函数有两个零点，
求实数的取值范围.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
22．（本小题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（其中为参数）。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，直线经过点．曲线的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；
（2）过点作直线的垂线交曲线于、两点(在轴上方)，
求的值．

23．（本小题满分10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）解不等式：；
（2）当时，函数的图象与轴围成一个三角形，
求实数的取值范围．

惠州市2019届高三模拟考试
文科数学参考答案与评分标准
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
D
A
C
B
C
B
B
C
C
B
A
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
（13） （14） （15） （16）
三．解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17. （本小题满分12分）
（1）【解法一】由正弦定理得，…………1分
，；…………2分
，…………3分
，…………4分
，…………5分
…………6分
（1）【解法二】由余弦定理得…………1分
化简得，…………2分
…………4分
，…………5分
…………6分
（2）由，，得，…………7分
在中，，……9分
由正弦定理，得，…………11分
…………12分
18. （本小题满分12分）
【解析】（1）∵平面，平面，∴…………1分
∵四边形是正方形，∴…………2分
∵，平面，平面…………3分
∴平面…………4分
∵平面，∴ …………5分
（2）解法一：连接，
由（1）知平面，所以是三棱锥的高，
且………6分
又
…………7分
在中，，
，
…………8分
…………9分
…………10分
记点到平面的距离为，由得
解得…………11分
点到平面的距离为…………12分
（2）解法二：连接，
由是的中点可知，点到平面的距离等于点到平面的距离………6分
…………7分
在中，，
，
…………8分
…………9分
…………10分
记点到平面的距离为，得
解得…………11分
点到平面的距离为…………12分
19. （本小题满分12分）
【解析】（1）设小李9月份的税前收入为元，因为
所以按调整起征点前应缴纳个税为：，……1分
解得…………2分
按调整起征点后应缴纳个税为：…………3分
调整后小李的实际收入是（元）…………4分
（2）（ⅰ）由柱状图知，中位数落在第二组，不妨设中位数为千元，
则有，解得（千元）…………7分
估计该公司员工收入的中位数为千元. …………8分
（ⅱ）按调整起征点后该公司员工当月所交的平均个税为
（元）………11分
估计小李所在的公司员工平均纳税元…………12分
20. （本小题满分12分）
【解析】（1）由得，所以…………1分
由点在椭圆上得解得， …………2分
…………3分
所求椭圆方程为…………4分
（2）解法一：当直线的斜率不存在时，直线平分线段成立…………5分
当直线的斜率存在时，设直线方程为，
联立方程得，消去得………6分
因为过焦点，所以恒成立，设，，
则，…………7分
…………8分
所以的中点坐标为…………9分
直线方程为，，可得，…………10分
所以直线方程为，
满足直线方程，即平分线段…………11分
综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分
（2）解法二：因为直线与x=4有交点，所以直线的斜率不能为0，
可设直线方程为，…………5分
联立方程得，消去得…………6分
因为过焦点，所以恒成立，设，，
，…………7分
…………8分
所以的中点坐标为…………9分
直线方程为，，由题可得，…………10分
所以直线方程为，
满足直线方程，即平分线段…………11分
综上所述，直线OM平分线段PQ…………12分

21. （本小题满分12分）
【解析】（1）函数的定义域为…………1分
当时,
…………2分
令得，解得，
令得，解得，…………3分
所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为………4分
（2），
…………5分
由得…………6分
①当时，，函数在上单调递增，
所以，即，函数在上没有零点。…………7分
②当时，时，，时，
所以函数在上单调递减，在上单调递增…………8分
因为，…………9分
所以函数在有两个零点只需…………10分
解得…………11分
综上所述，实数a的取值范围为…………12分
22.（本小题满分10分）
【解析】（1）由题意得点的直角坐标为，………1分
将点代入得 ，………2分
则直线的普通方程为. ………3分
由得，又由，………4分
可得. 故曲线的直角坐标方程为.……5分
（2）设直线的参数方程为，………6分
代入得． ………7分
设对应参数为，对应参数为．
则，，且.………8分
．………10分
23. （本小题满分10分）
【解析】（1）原不等式等价于
或或，………3分
解得或或，………4分
综上所述，不等式的解集为.………5分
（2）当时，则 ，
此时的图象与轴围成一个三角形，满足题意; ………6分
当时， ，………7分
则函数在上单调递减，在上单调递增.
要使函数的图象与轴围成一个三角形，则，………8分
解得；………9分
综上所述，实数的取值范围为.………10分