全国初中数学联合竞赛分类解析——几何选择题答案.doc

2007-2012年全国初中数学联合竞赛分类解析汇编2---几何选择题
1. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ）（2007）
A
E
C
B
D
O
H
（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°.
【答】C.
解 锐角△的垂心在三角形内部，如图，设△的外心为，为的中点，的延长线交⊙于点，连、，则//，//，则，所以∠＝30°，∠＝60°，所以∠＝∠＝60°.故选（C）.

2．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为 （ ）（2007）
（A）. （B）. （C）. （D）.
【答】A.
解 分别延长、、，与△的三边、、交于点、、，由于、、分别为△、△、△的重心，易知、、分别为、、的中点，所以.
易证△∽△，且相似比为，所以.
所以.故选（A）.

3．如图，设，，为三角形的三条高，若，，，则线段的长为 （ ）（2008）
. 4. . .
【答】.
解 因为，，为三角形的三条高，易知四点共圆，
于是△∽△，故，即，所以.
在Rt△中，. 故选.
4．在△中，，，和分别是这两个角的外角平分线，且点分别在直线和直线上，则 （ ）（2008）
. .
. 和的大小关系不确定.
【答】.
解 ∵，为的外角平分线，∴.
又，∴，
∴.
又，
∴
，
∴. 因此，.故选.

5．在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ）（2009）
A.. B. . C. . D. .
【答】C.
延长CA至D，使AD＝AB，则，所以△CBD∽△DAB，所以，故，所以.又因为，所以.

6．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以BC为直径在矩形内作半圆，自点A作半圆的切线AE，则CBE＝（ ）（2009）
A.. B. . C. . D. .

【答】 D.
设BC的中点为O，连接OE、CE.
因为AB⊥BC，AE⊥OE，所以A、B、O、E四点共圆，故∠BAE＝∠COE.
又AB＝AE，OC=OE，所以△ABE∽△OCE，因此，即.
又CE⊥BE，所以，故CBE＝

7．在△中，已知，D，E分别是边AB，AC上的点，且，，,则( ) （2010）
A．15°. B．20°. C．25°. D．30°.
【答】 B.
如图，延长AB到F，使BF=ED，连CF，EF．
∵ ，
∴，，
，，
于是，，．
又∵，，
∴ ,．
在△CDA和△CBF中，CA=CF，，AD=BF，∴ △CDA≌△CBF，
∴ ．
于是，．

8．已知△的两条高线的长分别为5和20,若第三条高线的长也是整数，则第三条高线长的最大值为 （ ）（2011）
A．5. B．6. C．7. D．8.
【答】B.
设△的面积为S，所求的第三条高线的长为h，则三边长分别为．显然，于是由三边关系，得
解得．
所以的最大整数值为6,即第三条高线的长的最大值为6.

9．如图，菱形ABCD中，，，，，，则（ ）（2011）
A．. B．. C．. D．.
【答】 D.
过F作AB的垂线，垂足为H．∵，，
∴，，，
又∵，
∴，
从而△FHE是等腰直角三角形，所以HE＝FH＝，
∴ ．

10．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为 （ ）（2012）
A． B． C． D．
【答】D.
过点C作CP//BG，交DE于点P.因为BC＝CE＝1，所以CP是△BEG的中位线，所以P为EG的中点.
又因为AD＝CE＝1，AD//CE，所以△ADF≌△ECF，所以CF＝DF，又CP//FG，所以FG是△DCP的中位线，所以G为DP的中点.
因此DG＝GP＝PE＝DE＝.
连接BD，易知∠BDC＝∠EDC＝45°，所以∠BDE＝90°.
又BD＝，所以BG＝.