初中数学竞赛专题讲解最短路径问题(资料).doc

初中数学竞赛专题讲解最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题， 旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．
④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．
【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．
【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．
【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．
【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．

【十二个基本问题】
【问题1】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．
连AB，与l交点即为P．

两点之间线段最短．
PA+PB最小值为AB．
【问题2】“将军饮马”
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使PA+PB值最小．
作B关于l的对称点B＇连A B＇，与l交点即为P．

两点之间线段最短．
PA+PB最小值为A B＇．
【问题3】
作法
图形
原理

在直线、上分别求点M、N，使△PMN的周长最小．
分别作点P关于两直线的对称点P＇和P＇＇，连P＇P＇＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．
PM+MN+PN的最小值为
线段P＇P＇＇的长．
【问题4】
作法
图形
原理

在直线、上分别求点M、N，使四边形PQMN的周长最小．
分别作点Q 、P关于直线、的对称点Q＇和P＇连Q＇P＇，与两直线交点即为M，N．

两点之间线段最短．
四边形PQMN周长的最小值为线段P＇P＇＇的长．
【问题5】“造桥选址”
作法
图形
原理

直线∥，在、，上分别求点M、N，使MN⊥，且AM+MN+BN的值最小．
将点A向下平移MN的长度单位得A＇，连A＇B，交于点N，过N作NM⊥于M．

两点之间线段最短．
AM+MN+BN的最小值为
A＇B+MN．
【问题6】
作法
图形
原理

在直线上求两点M、N（M在左），使，并使AM+MN+NB的值最小．
将点A向右平移个长度单位得A＇，作A＇关于的对称点A＇＇， 连A＇＇B，交直线于点N，将N点向左平移个单位得M．

两点之间线段最短．
AM+MN+BN的最小值为
A＇＇B+MN．
【问题7】
作法
图形
原理

在上求点A，在上求点B，使PA+AB值最小．

作点P关于的对称点P＇，作P＇B⊥于B，交于A．

点到直线，垂线段最短．
PA+AB的最小值为线段P＇B的长．
【问题8】
作法
图形
原理

A为上一定点，B为上一定点，在上求点M，在上求点N，使AM+MN+NB的值最小．

作点A关于的对称点A＇，作点B关于的对称点B＇，连A＇B＇交于M，交于N．

两点之间线段最短．
AM+MN+NB的最小值为线段A＇B＇的长．
【问题9】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最小．
连AB，作AB的中垂线与直线l的交点即为P．

垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．
＝0．

【问题10】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最大．
作直线AB，与直线l的交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB．
的最大值＝AB．
【问题11】
作法
图形
原理

在直线l上求一点P，使的值最大．
作B关于l的对称点B＇作直线A B＇，与l交点即为P．

三角形任意两边之差小于第三边．≤AB＇．
最大值＝AB＇．
【问题12】“费马点”
作法
图形
原理

△ABC中每一内角都小于120°，在△ABC内求一点P，使PA+PB+PC值最小．
所求点为“费马点”，即满足∠APB＝∠BPC＝∠APC＝120°．以AB、AC为边向外作等边△ABD、△ACE，连CD、BE相交于P，点P即为所求．

两点之间线段最短．
PA+PB+PC最小值＝CD．
一、基础过关
1.如图所示，是一个圆柱体，底面周长为,高为,一只蚂蚁要从外壁的A处到内壁的B处吃一食物,求蚂蚁所走的最短程 .
2.如右图是一个长方体木块，已知，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。
3.正方形的边长为，在上，且，是上的一动点，的最小值为 。
4.在菱形中，，，点是的中点，是对角线上的一个动点，则的最小值为
5.如图，在中，，，是边的中点，是边上一动点，则的最小值为
第5题
第4题
第2题
第3题
第1题
A
B
C
D

6. 是⊙O的直径，，是⊙O的半径，，点在上，为的三等分点，点是半径上的一个动点，则的最小值为
7.如图，点P关于OA、OB的对称点分别为C、D，连接CD，交OA于M，交OB于N，若CD＝18cm，则△PMN的周长为
8.如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是 ．
9.如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是 ．

第8题

第9题
第7题
第6题

二、例题讲解
例1：已知：直线与轴交于A，与轴交于D，抛物线与直线交于A、E两点，与轴交于B、C两点，且B点坐标为 （1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在轴上移动，当△PAE是直角三角形且以P为直角顶点时，求点P的坐标．
（3）在抛物线的对称轴上找一点M，使的值最大，求出点M的坐标．
y
x
O
D
E
A
B
C

D
O
x
y
B
E
P
A
C
例2：如图，抛物线的顶点P的坐标为，交x轴于A、B两点，交y轴于点．
（1）求抛物线的表达式．
（2）把△ABC绕AB的中点E旋转180°，得到四边形ADBC．
判断四边形ADBC的形状，并说明理由．
（3）试问在线段AC上是否存在一点F，使得△FBD的周长最小，
若存在，请写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

例3：如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点．
（1）点D的坐标为　　；
（2）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点E的坐标．

例4：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求。

例5：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？

练习1：桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖），高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口3厘米的A处有一滴蜜糖，一只小虫从桌上爬至杯子外壁，当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3厘米的B处时，突然发现了蜜糖。问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。

练习2：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是　　米．（精确到0.01米）

练习3：如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？最短路线长为多少？

三、课后提升
A
D
E
P
B
C
1．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）
A． B． C．3 D．

2．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，若将△ACD绕点A旋转，当AC′、AD′分别与BC、CD交于点E、F，则△CEF的周长的最小值为（ ）
A．2 B．
C． D．4

3．四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝70°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小时，∠AMN+∠ANM的度数为（ ）
A．120° B．130° C．110° D．140°

4．如图，三角形△ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B(，0)．
OC平分∠AOB，点M在OC的延长线上，点N为边OA上的点，则MA＋MN的最小值是______．

5．已知A（2，4）、B（4，2）．C在轴上，D在轴上，则四边形ABCD的周长最小值为 ，
此时 C、D两点的坐标分别为 ．

6．已知A（1，1）、B（4，2）．
（1）P为轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标；

（2）P为轴上一动点，求的值最大时P点的坐标；

（3）CD为轴上一条动线段，D在C点右边且CD＝1，求当AC+CD+DB的最小值和此时C点的坐标；

7．点C为∠AOB内一点．
（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；
（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．

8．（1）如图①，△ABD和△ACE均为等边三角形，BE、CE交于F，连AF，求证：AF+BF+CF＝CD；
（2）在△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝6，BC＝8，∠A，∠C均小于120°，求作一点P，使PA+PB+PC的值最小，试求出最小值并说明理由．

9．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？

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