湖北省智学联盟2025届高三12月联考-数学试题（含答案）.docx

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湖北省市级示范高中智学联盟 2024 年秋季高三年级 12 月联考
参考答案
一、单选题
ì
æ 4 - x öü
è x + 2 øþ
A = íxÎR y = lgç
÷ý ， B = {-2,-1,0,1,3, 4,5}
AÇ B =
，则
1
．设集合
（
）
î
B．{-1, 0,1, 3}
C．{-2,-1, 0,1, 2, 3} D．{-2,-1, 0,1, 3}
A．{0,1, 2, 3}
1
．B
【分析】利用对数函数的定义域求法化简集合 A ，再利用集合的交并补运算即可得解.
ì
æ 4 - x öü ì 4 - x
÷ý = í
ü
A
=
íxÎR y lg
=
x
0
x 2 x 4
> ý = { - < < }
【详解】因为
ç
，
è x + 2 øþ î x + 2
î
þ
B = -2,-1,0,1,3, 4}，所以
{
AÇ B = {-1, 0,1, 3}.故选：B.
又
z1
z2
=
2
2
．若复数 z ， z 在复平面内对应的点关于 x 轴对称，且 z =1+ i ，则复数
（
）
1
2
1
A．1
．C
B． -1
C．i
D． -i
分析】根据对称性求出 ，再利用复数除法求解作答.
z
【
2
z
1
z
在复平面内对应的点关于 x 轴对称，且
z =1+i
1
z =1-i
，则
【详解】复数
，
，
2
2
z1
(1+ i)2
z2 (1+ i)(1-i)
2i
=
=
= i
所以
.
2
故选：C
．已知等差数列{a }的公差为-2，若 a ,a ,a 成等比数列， S 是{a }的前 项和，则
S
9
n
3
等
n
1
3
4
n
n
于（
）
A．8
．D
B． 6
C．-10
D．0
3
【
分析】由 a ，a ，a 成等比数列，可得
a
3
2
=a a ，再利用等差数列的通项公式及其前 n 项
1
3
4
1
4
试卷第 1页，共 18页
{
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和公式即可得出．
【
详解】∵a ，a ，a 成等比数列，∴
a
3
2
=a a ，
1
3
4
1
4
(a1 - 2´2)2 =a
∴
•（ -3×2），
a
1
1
化为 2a1=16，
解得 a1=8．
9
´8
∴则 S9=8×9+
×（-2）=0，
2
故选 D．
点睛】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与
计算能力，属于简单题．
【
1
4
a - x
4
．已知随机变量x
为（
A．9
．B
(
)，且
P(x £ -1)= P (x ³ a)
，则
( < < )
a 的最小值
0
x
~ N 1,s
2
+
x
）
7
9
B．3
C．
D．
2
3
4
1
1
4
分析】利用正态分布密度曲线的对称性可求得 a = 3，代数式 ë
é
x + 3- x)ùû 与
(
+
【
3
x 3- x
相乘，展开后利用基本不等式可求得所求代数式的最小值.
a
【
详解】因为随机变量x
~ N 1,s
(
2
)，且 P(x £ -1)= P (x ³ a )，则 =1，可得 a = 3，
3
1
4
a - x
1
4
1 æ1
= ç +
3- x 3 è x 3- x ø
4 ö
÷ é + ( - )ù
3 x û
+
=
+
x
ë
x
x
1
3
æ
è
3 - x 4x ö 1 æ
3 - x 4x ö
=
ç1+ 4+
+
÷ ³ ç5+ 2
×
÷= 3
，
çè
3 x
- ÷ø
3 x
x
- ø
3
x
1
4
a - x
当且仅当 x =1时，等号成立，所以，
+
(0< x< a)的最小值为3.
x
故选：B.
【
（
（
点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，
则必须把构成积的因式的和转化成定值；
试卷第 2页，共 18页
{
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（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这
个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
5
．已知 DABC 的三个角 A ，B ，C 的对边分别是 ， ， ，若
a
b
c
3a = 2b
，B
2A，则sinB =
=
（
）
1
8
1
8
3 7
8
3 7
8
A．-
B．
C． -
D．
5
．D
【分析】利用正弦定理将边化为角，利用题设将 B 换为 A ，从而求出cosA ，再利用二倍角
sinB .
公式求出
【
详解】因为3a = 2b ，所以3sinA = 2sinB = 2sin2A = 4sinAcosA，
AÎ 0,π
(
)，所以sinA > 0
因为
，
3
所以3 = 4cosA，即cosA =
，
4
3
7
3 7
8
所以sinB = sin 2A = 2 sin AcosA = 2´ ´
=
.
4
4
故选：D．
æ
è
π ö
3 ø
π
f (x) = sinç2wx + ÷(w > 0)
6
．将函数
的图象向右平移 个单位长度后与函数
6
g(x) = cos(2wx)
的图象重合，则w 的最小值为（
）
9
11
2
13
15
2
A．
B．
C．
D．
2
2
6
．B
æ
è
π ö
6 ø
æ
è
π ö
6 ø
分析】求出 y = f ç x - ÷ ，根据
f ç x - ÷ = cos 2wx
(
)
可得ω，从而可求其最小值.
【
æ
è
π ö
6 ø
é
æ
è
πö πù
6 ø 3 û
æ
è
π
πö
3ø
y = f ç x - ÷ = sin ê2wç x - ÷+ ú = sinç 2wx - w+ ÷
【详解】
，
ë
3
æ
è
π ö
2 ø
cos (2wx) = sinç2wx + ÷ k Î Z
，
，
试卷第 3页，共 18页
{
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π
3
π
π
2
1
2
-
w + = 2kπ +
Z ，解得w = -6k -
由题可知，
， k
Î
， k Î Z ，
3
又w > 0 ，\当 k = -1时，w 取得最小值11
．
2
故选：B ．
ì
2
- 2, x ³ 0,
x
f x = í
．已知函数 ( )
f (a)= f (a + 4)，则 g (x)= ax3 + x
的单调递减区
7
若
x + 4, x < 0,
î
间为（
）
æ
15 ö
æ 15
ö
æ
ö æ
15
ö
1
5
-¥,-
,+¥÷
ç -¥,-
÷Èç
÷ ç
15 ø è 15
,+¥÷
ç
÷，或ç
A． ç
B． ç
÷
ç
÷
÷
15 ø
è 15
è
ø
è
ø
æ
6 ö
æ 6
ö
æ
ö æ
ö
6
6
-¥,-
,+¥÷
ç -¥,-
÷Èç
÷ ç
6 ø è 6
,+¥÷
ç
÷，或ç
C． ç
D．ç
÷
ç
÷
÷
6 ø
è 6
è
ø
è
ø
7
．C
【
分析】先根据题目条件求出 a 的值，再根据三次函数的性质求出
g(x)
的单调递增区间
g (x)
ì
-
2,
g x = -2x3 + x
，可知
解得 a＝－2，故 ( )
【
详解】解：依题意，í
ï
î
a < 0 £ a + 4,
æ
6 ö
æ 6
ö
-¥,-
,+¥÷
ç
÷，或ç
在ç
÷上单调递减
÷
ç
6 ø
è 6
è
ø
故选：C
3
5
0
8
．如图，底面同心的圆锥高为
， A ， B 在半径为 1 的底面圆上，C ， D在半径为 2
的底面圆上，且 AB / /CD ， AB = CD，当四边形 ABCD面积最大时，点O到平面 PBC 的距
离为（
）
试卷第 4页，共 18页
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6
2 6
5
12
5
2 12
5
A．
B．
C．
D．
5
8
．A
【分析】根据给定条件，确定四边形 ABCD的形状，再求出四边形 ABCD面积最大时，圆心
O 到边 BC 的距离，然后在几何体中作出点O到平面 PBC 的垂线段，借助直角三角形计算作
答.
F,E，连接CE,DF
AB / /CD ，知四边形CDFE 为
【详解】如图，直线 AB 交大圆于点
，由
等腰梯形，
AB,CD
M , N
MN
MN ^ AB
BM = CN,BM / /CN BCNM
，知四边形
取
的中点
，连接
，则
，由
是矩形，
因此四边形 ABEF 为矩形，过 O 作OQ ^ BC 于 Q，连接OB,OC,OA,OD ，
1
从而四边形 ABCD的面积
S
= 2SBCNM = 4SVBOC = 4´ OB´OC´sinÐBOC £ 4
，
ABCD
2
OB×OC
1´2
2
OQ =
=
=
当且仅当ÐBOC = 90o ，即OB ^ OC 时取等号，此时
，
OB2 + OC
2
1
2
+ 22
5
如图，在几何体中，连接 PQ, PO ，因为 PO ^平面 ABCD，BC Ì平面 ABCD，则 PO ^ BC ，
又OQ ^ BC ，
试卷第 5页，共 18页
{
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PO IOQ = O, PO, OQ Ì平面 POQ
BC ^
POQ
BC Ì平面 PBC
，而 ，
，于是
平面
则有平面 POQ ^ 平面 PBC ，显然平面 POQ I 平面 PBC = PQ ，在平面
于 R，
POQ
内过O作OR ^ PQ
从而OR ^平面 PBC ，即OR 长即为点O到平面 PBC 的距离，
3
5
0
+OQ
= ( 30)2 + (2 5)2 = 2 ，
在 Rt△POQ 中， PO =
， PQ = PO
2
2
5
5
3
5
0
2
´
PO×OQ
6 ，
5
OR =
=
=
PQ
2
5
6
所以点O到平面 PBC 的距离是
.
5
故选：A
【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可
以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投
影即可.
二、多选题
9
．下列说法中正确的有（
）
æ
è
1
öx2 -2x
A．函数 y = ç ÷
在(1,+¥)上单调递增
3ø
B．函数 f (x)的定义域是[-2,2]，则函数 f (x +1)的定义域为[-3,1]
}(
)
C．不等式{x x2
-5a× x + 6a < 0 aÎR 的解集为{x 2a < x < 3a}
2
试卷第 6页，共 18页
{
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2
x
关于点(-1,2)
中心对称
D．函数 y =
x +1
分析】由复合函数的单调性可判断 A；由函数的定义域的定义可判断 B；对 讨论，分
a < 0,a = 0,a > 0 ，可判断 C；由函数的图象平移可判断 D .
a
【
æ
è
1
öx2 -2x
【
详解】对于 A，函数 y = ç ÷
在(1,+¥)上单调递减，故 A 错误；
3ø
对于 B，函数 f (x)的定义域是[-2,2]，可得 2 x 1 2 ，解得 3 x 1，所以函数
- £ + £
- £ £
f (x +1)
的定义域为[-3,1]，故 B 正确；
}(
-5a× x + 6a = (x - 2a)(x -3a) < 0 aÎR ，当 a = 0 时解集为Æ；当 a < 0
)
对于 C，不等式{x x2
2
时解集为{x 3a < x < 2a}；当 a > 0时解集为{x 2a < x < 3a}，故 C 错误;
2
x +1
x
1
x +1
1
y =
= 2-
y = -
对于 D，
的图象可由
向左平移 1 个单位，再向上平移 1 个单位
x
2
x +1
x
(- )
,2
关于点 中心对称，故 D 正确.
得到，可得 y =
1
故选：BD.
1
0．在四棱锥 P - ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， AD = 2 2 ， AP = AB = PD = 2，平面
PAD ^平面 ABCD，点 M 在线段 PC 上运动（不含端点），则（
）
A．存在点 M 使得 BD ^ AM
B．四棱锥 P - ABCD 外接球的表面积为12π
π
C．直线 PC 与直线 AD 所成角为
6
D．当动点 M 到直线 BD 的距离最小时，过点 A，D，M 作截面交 PB 于点 N，则四棱锥
P - ADMN 的体积是1
【分析】取 AD 的中点 G，证明 BD ^ 平面 PGC，然后由线面垂直的性质定理判断 A，把四
棱锥 P - ABCD 补形成一个如图 2 的正方体，根据正方体的性质判断 BC，由 BD ^ 平面 PGC，
当动点 M 到直线 BD 的距离最小时 HM ^ PC ，从而得 M 为 PC 的中点，N 为 QA 的中点，
再由体积公式计算后判断 D．
【
详解】如图 1，取 AD 的中点 G，连接 GC，PG，BD，GC I BD = H ,则 PG ^ AD，
因为平面 PAD ^平面 ABCD，平面 PADÇ 平面 ABCD = AD ， PG Ì 平面 PAD ，
所以 PG ^平面 ABCD， BD Ì 平面 ABCD，则 PG ^ BD ．
试卷第 7页，共 18页
{
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AB CD
又因为 tan ÐADB tan ÐDGC =
×
=1，所以GC ^ BD ，
AD GD
又 PG IGC = G， PG,GC Ì 平面 PGC ，所以 BD ^ 平面 PGC．
因为 M Î平面 PGC， AÏ 平面 PGC，所以 BD ^ AM 不成立，A 错误．
因为△APD 为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面 APD 作为底面一部分，补成棱长为 1 的正
方体．如图 2，则四棱锥 P - ABCD 的外接球即为正方体的外接球，其半径 R = 3 ，即四棱
锥 P - ABCD 外接球的表面积为12π
，B 正确．
π
如图 2，直线 PC 与直线 AD 所成角即为直线 PC 与直线 BC 所成角，为 ，C 错误．
3
如图 1，因为 BD ^ 平面 PGC，当动点 M 到直线 BD 的距离最小时 HM ^ PC ，
DC
CG
2
6
由上推导知 PG ^ GC ，GC = 22 + ( 2)2 = 6 ，cosÐDCG =
=
=
，
6
3
2
6
6
CH = DC cosÐDCG =
，GH = GC -CH =
，
3
3
6
2 6
3
(
2
)
PH = PG2 + GH
2
=
2 + (
)
2
=
， PH CH ，
=
3
因此 M 为 PC 的中点．如图 3，由 M 为 PC 的中点，即为QD 中点,平面 ADM 即平面
ADQ
与
BP 的交点也即为QA与 BP 的交点,可知
N
QA 的中点，故
为
3
3
3 1æ 1
ö
ø
VP-ADMN = V
= V
= ´ ç ´2´2÷´2 =1
，D 正确．
P-AQD
Q-APD
4
4
4 3 2
è
故选：BD．
【点睛】
方法点睛：空间几何体的外接球问题，（1）直接寻找球心位置，球心都在过各面外心用与
该面垂直的直线上，（2）对特殊的几何体，常常通过补形（例如把棱锥）补成一个长方体
或正方体，它们的外接球相同，而长方体（或正方体）的对角线即为外接球的直径，由此
试卷第 8页，共 18页
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易得球的半径或球心位置．
1
f x = cos2wx - 3sinwxcoswx,w > 0
1．设函数 ( )
1
，则下列结论正确的是（
）
2
é
π πù
A．"w Î(0,1), f (x)在 ê- , ú上单调递减
6 4û
ë
B．若w =1且 f (x )- f (x ) = 2，则 x - x
2 min
= π
1
2
1
é
5 4 ö
C．若 f (x) =1在[0, π]上有且仅有 2 个不同的解，则w 的取值范围为 ê , ÷
6 3 ø
ë
π
D．存在wÎ(- )
,0
，使得
的图象向右平移 个单位长度后得到的函数为奇函数
1
( )
f x
6
æ
è
π ö
6 ø
f x = -sinç2wx - ÷
分析】由 ( )
【
，选项 A：利用正弦函数的单调性判断； 选项 B：利
用正弦函数的最值、周期判断；选项 C：利用正弦函数的图象判断； 选项 D：利用三角函
数的图象变换判断.
1
æ
è
π ö
6 ø
f x = cos 2wx - 3 sinwxcoswx = -sinç2wx - ÷
详解】 ( )
【
，
2
é (2w +1)π π
π ù é π π ù
é
ë
π πù
6 4û
π
"
0
,1
wÎ( )
xÎ - ,
2wx - Îê-
, w - ú Í - ,
，当
ê
ú
时，
ê
ú
，
6
6
2
6û
ë
2 2û
ë
é
ë
π π ù
6 4û
由复合函数、正弦函数单调性可知 f (x)在 ê
-
,
ú 上单调递减，故 A 正确；
T
π
2
对于 B，若w =1且 ( ) ( )
f x - f x = 2
，则
x - x2
1
=
=
，故 B 不正确；
1
2
min
2
π
é π
ë 6
πù
6 û
xÎ 0,π
[
]，则
2wx - Î ê- ,2wπ -
对于 C，若
，
ú
6
æ
è
π ö
6 ø
若 ( )
f x = sinç2w x- ÷ =1 [0, π]
在
上有且仅有 2 个不同的解，如图所示：
3
π
6
5
2
5
4
é5 4 ö
ë6 3 ø
可得 π £ 2wπ -
<
π ，解得 £ w < ，也就是w 的取值范围为 ê , ÷，故 C 正确；
2
6
3
æ
æ
è
π ö π ö
6 ø 6 ø
æ
è
wπ πö
1
2
g x = sinç2w çx - ÷- ÷ = sin ç2wx -
对于 D， ( )
- ÷ ，可知当w = -
时，
è
3
6 ø
试卷第 9页，共 18页
{
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(
) =
g x sin x 是奇函数，故 D 正确.
故选：ACD.
三、填空题
9
x
- a
1
2．已知函数 f (x) =
为偶函数，则
a =
．
3
x
1
2．-1
f -x = f (x)即可得到(a -1)(9x -1)= 0
【
分析】根据偶函数的性质 (
)
对"xÎR
均成立，从
而求出参数的值.
-x
- a
-x
x
- a
9
9
详解】由题设， ( )
=
3x (9-x
- a = f x =
)
( )
f -x =
【
，
3
3
x
(9-
- a) =
9
-
a
( + )( - ) =
a 1 9x
1
0
所以9
x
x
x
，得1 a 9 9x a ，得
- ×
x
=
-
对
"xÎR
均成立．
所以
a +1= 0，解得 a = -1．
经检验， a = -1满足要求.
故答案为：-1
13．若n 为一组从小到大排列的数-1，1，3，5，7，9，11,13 的第六十百分位数，则(2x - y +1)
的展开式中 x2 y3 的系数为
n
.
1
3． -40
【分析】利用第 p 百分位数的定义求出 n，再利用组合的应用列式计算作答.
【详解】由8´60% = 4.8
，得 n = 5，
于是(2x - y +1)5 展开式中含 x2 y3
的项为C
2
5
(2x)2 ×C33 (-y)3 = -40x2 y3
，
所以(2x - y +1)5 的展开式中 x2 y3 的系数为 -40.
故答案为： -40
6
1
4．已知 a>0,bÎR,若关于 x 的不等式(
的最小值为
)
( + - )³ 在(0,+¥)
上恒成立，则 b+
ax 2 x2 bx 8
-
0
a
.
试卷第 10页，共 18页
{
#{QQABRQIAoggIAAIAARgCUwEgCgKQkhAACQgGxFAIMAAAiQNABAA=}#}

2
4
2b
2
4.由共零点可知，x =
是方程 x2 bx -8 = 0 的根，故
+
-8 = 0
b = 4a -
，可得
，
1
+
a
a
2
a
a
6
4
所以b + = 4a + ³ 8
，故答案为：8
a
a
四、解答题
1
2
3
n
7
2
5．已知数列{an}满足
+
+
+L+ = 2n+1
an
-
．
1
a1 a2 a3
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求{a }的前 项和
．
n
S
n
n
【分析】（1）利用作差法即可得解；
（2）利用错位相减法即可得解.
1
2
3
n
7
+
+
+L+ = 2n+1
an
-
【详解】（1）因为
，
a1 a2 a3
2
1
a =
1
当 n =1时，得
，----------------------------------------2 分
2
1
2
3
n -1
7
2
+
+
+L+
= 2n
-
当 n ³ 2 时，
两式相减得：
a =1
，
a1 a2 a3
an-1
n
n
=
2
n
=
a
n
，则
，--------------------------4 分
an
2n
n
a =
n
检验：
满足上式，故
；------------------------1
分
1
2n
n
a =
（
则
故
2）由（1）知
，
n
2n
1
2
n -1
2n-1
n
S =
n
+
+L+
+
，
2
1
2
2
2n
1
2
1
2
n-1
2n 2n+1
n
Sn =
+
+L+
+
，
2
2
2
3
1
2
1
2
1
1
1
1
n
Sn =
+
+
+L+
-
两式相减可得：
---------------1 分
2
2
2
3
2n 2n+
1
试卷第 11页，共 18页
{
#{QQABRQIAoggIAAIAARgCUwEgCgKQkhAACQgGxFAIMAAAiQNABAA=}#}

n
æ
1
ö
1
-ç ÷
1
2
è 2 ø
n
2n+1
n +2
2n+1
=
´
-
= 1-
，---------------------------------4 分
1
1
-
2
n + 2
S = 2-
n
故
．-------------------------------------------1 分
2n
1
6．在 DABC中，内角 A,B,C 的对边长分别为a,b,c ，
B +C
p - A
2(
- )
a c sin
cos
=
bsinB -csinC
.
2
2
(1)若b = 2 ，求 DABC 面积的最大值；
p
A =
DABC边 AC
DABC
DC =1，DA
(2)若
，在
的外侧取一点 D（点 D 在
外部），使得
=
2 ，
3
5
3 + 2，求Ð ADC 的大小.
且四边形 ABCD的面积为
4
5
p
1
6．(1)
(2)
3
6
1
= ac，由余弦定理求得 cos B =
【
分析】（1）根据题意，利用正弦定理化简得 a2 + c2 -b2
，
2
π
B =
ac
，再由余弦定理和基本不等式求得 的最大值，进而求得面积的最大值；
得到
3
2）设ÐADC =q(0 <q < π)，利用余弦定理和
即可求解.
DABC
为正三角形，求得
S
ABCD
，列出方程，
（
B +C
p - A
详解】（1）解：由 (
a -c sin
)
= bsinB -csinC
2
cos
【
2
2
因为
B +C =p - A，可得(a - c)sinA = bsin B - csinC
，-----------2
分
(
a -c)a = b2 -c2
+
-b2
=
ac，
又由正弦定理得
，即 a2 c2
a
2
+ c2 -b2
1
由余弦定理得 cos B =
=
，-------------2 分
2
ac
2
π
π
< B < π
B =
ÐABC =
，所以
0
因为
，可得
，
3
3
DABC
=
+
-
2a×c×cos ABC ，
Ð
在
中，由余弦定理得b2
a
2
c
2
即 4 = a2 + c2 - a×c ³ 2ac - ac = ac ，当且仅当
a = c = 2
时取等号，
试卷第 12页，共 18页
{
#{QQABRQIAoggIAAIAARgCUwEgCgKQkhAACQgGxFAIMAAAiQNABAA=}#}

1
1
3
所以 SVABC = a×c×sinÐ ABC £ ´4´
= 3 ，-----------------3
2
2
2
DABC面积取得最大值 3 .
所以
1
（
2）解：设ÐADC =q(0 <q < π)，则 SVACD
=
AD×DCsinq = sinq ，
2
在△ADC 中，由余弦定理得 AC2 = AD2 + DC2 -2AD×DCcosq = 5-4cosq ，----------2 分
π
3
π
3
ÐABC =
A =
DABC
，所以 为正三角形，
由（1）知，
且
3
5
所以 SV
=
=
AC
2
=
3 - 3cosq ，-----------------------------3 分
ABC
4
4
5
4
æ
π ö
5
4
5
4
可得
S
sinq +
3 - 3cosq = 2sinçq - ÷ +
3 =
3 + 2 ，--------------2 分
ABCD
è
3
ø
æ
è
π ö
因为0 <q < π，故sinçq - ÷ =1，所以q -
3 ø
π
π
2
5π
=
，可得q =
.-----------------1 分
3
6
1
7．若 OA 为平面α的一条斜线， O 为斜足， OB 为 OA 在平面α内的射影， OC 为平
面α内的一条直线，其中θ为 OA 与 OC 所成的角，θ1 为 OA 与 OB 所成的角，即线面角，
θ 为 OB 与 OC 所成的角，那么 cos θ＝ cos θ cos θ .简称为三余弦定理。
2
1
2
ABC - A B C
如图，在三棱柱
中，底面
ABC 是边长为 4 的等边三角形，
1
1
1
¾
¾®
¾¾®
CC1 .`
2
3
AA = 6, AA ^ AC,Ð BAA = 60°,D 在CC
上且满足 CD
=
1
1
1
1
(1)求证：平面 ACC A ^平面 BAD ；
1
1
试卷第 13页，共 18页
{
#{QQABRQIAoggIAAIAARgCUwEgCgKQkhAACQgGxFAIMAAAiQNABAA=}#}

(2)求平面 ABC 与平面 AB C 夹角的余弦值.
1
1
3
17
1
7．(1)证明见解析，(2)
1
7
【分析】（1）由面面垂直的判定定理证明；
（2）建立空间直角坐标系，由空间向量法求解即可.
【详解】（1）如图，过点 D 作 DE / /AC 交
AA
于
E
，连接CE,BE ，设 ADICE =O ，
1
连接 BO,Q AC ^ AA1 ,\ DE ^ AE，
又CD = 2DC1 ，可得CD = 4---------------2 分
\
\
^
四边形 AEDC 为正方形， CE AD ，
Q
AC = AE,Ð BAC = Ð BAE,BA = BA，
\VBAC @VBAE,\BC = BE
，
Q
O 为CE的中点，\CE ^ BO，---------------------------3 分
因为 AD I BO = O ， AD,BO Ì 平面 BAD ，\CE ^ 平面 BAD ，
ACC A ,\ ACC A ^
BAD .--------------------------2
又QCE Ì平面
平面
平面
分
1
1
1
1
1
（
2）在 RtVBOC 中，QCO = CE = 2 2,\BO = 2 2 ，
2
1
又 AB = 4,AO = AD = 2 2 ，QBO2 + AO2 = AB2,\ BO ^ AD，
2
又 BO ^ CE,AD ÇCE = O,AD,CE Ì 平面 AAC C,\BO ^ 平面 AAC C ，----------2 分
1
1
1
1
故建立如图空间直角坐标系O- xyz
，
试卷第 14页，共 18页
{
#{QQABRQIAoggIAAIAARgCUwEgCgKQkhAACQgGxFAIMAAAiQNABAA=}#}

B(0,0, 2 2),C (-2,-2, 0),C (-2, 4,0), B (0,6, 2 2)
A 2,-2,0
则 (
)，
，
1
1
= (
)
AC1 = (-4, 6, 0),CA =(4, 0, 0)，
2,2, 2 2 ，
\CB = C1B
1
r
ìïm×C B = -4x + 6y = 0
r
=
(
x , y , z
)
1
1
1
1
m
设平面 AB C 的一个法向量为
，则 r
í
uu
uur
，
1
1
1
1
1
ï ×
m AC 2x1 2y1 2 2z1
=
+
+
=
0
î
1
r
(
)
令 x = 6 ，得 m 6, 4, 5 2 ，---------------------------------------2 分
=
-
1
r
ìïn ×CB = 4x = 0
uuur
r
=
(
x , y , z
，则 r
2
)
2
n
设平面 ABC 一个法向量为
í
，
2
2
în CA 2x2 2y2 2 2z
×
=
+
+
2
=
0
令 y2 = 2 ，得 nr = (0, 2,-1)，------------------------------2 分
m×n
cos m,n = r
m × n
r
r
9 2
102´ 3
3 17
17
=
=
，
3
17
7
故平面 ABC 与平面 AB C 夹角的余弦值为
.------------------------2 分
1
1
1
1
3
2
f x ln x - f ¢(1)× x2 +1， g x
(
) =
( ) = -
- - ( )
2x f x
x
2
+
1
8．已知函数
.
x
（
1）求 f (x)的单调区间；
（
2）设函数 h(x)= x2 - x + m，若存在 x1 Î(0,1]